Cette entrée va faire la partie de la Quatrième Édition du Carnaval de la Physique, dont l’amphitryon est le blog RTFM.es.
Quoi est-ce que tu ne connais pas les Lois de Kepler ? Je ne peux pas le me croire. Enfin, nous allons commencer par le plus simple. Les Lois de Kepler sont celles qui régissent les mouvements des planètes et elles ont été découvertes par l’astronome et mathématicien Johannes Kepler allemand. Mais le plus curieux de tout cela consiste en ce que le bon de Kepler les a obtenues de l’observation simple. En réalité, il les a déduites après avoir minutieusement étudié les annotations précises de son collège Tycho Brahe, qui l’a fait sans l’aide du télescope, inventé avec postériorité.
Mais tournons Kepler et ses Trois Lois (non, celles de la Robotique sont d’autres Trois lois qui ne viennent pas à un conte). Kepler (bien que non en le même ordre dans lequel aujourd’hui ils se connaissent et ils soient étudiés), enunción ses trois lois fameuses pour expliquer le mouvement des planètes dans ses orbites autour du Soleil :

1. Toutes les planètes se déplacent autour du Soleil en décrivant des orbites elliptiques, en étant le Soleil situé dans l’un des foyers.
2. Le rayon vecteur qui unit la planète et le Soleil balaie des aires égales dans des temps égaux.
3. Pour toute planète, le carré de sa période orbitale (le temps qui tarde à donner un tour autour du Soleil) est directement proportionnel au cube de la distance moyenne avec le Soleil.

Dans ce petit article nous allons redécouvrir la deuxième loi de Kepler, en nous basant sur la Loi de Gravitation Universelle de Newton :

La force qui exerce un objet heurté contre une masse m1 sur l’autre avec masse m2 est directement proportionnelle au produit des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

Pour le nôtre des intentions, nous allons fixer comme origine de notre système de la référence au Soleil, avec masse M, et nous allons supposer que nous ayons une planète en orbitant autour de lui avec masse un m. Et, de plus, nous allons adopter le système de coordonnées polaires. Ainsi, si nous fixons la position de la planète (que nous supposerons, aussi comme le soleil, qui est un point de coordonnées polaires (r, θ)), nous allons sonner ur au vecteur unitaire dans la direction du radiovector qui unit le Soleil avec notre planète et ou θ au vecteur unitaire perpendiculaire au précédent et dans la direction dans laquelle il augmente t.
Le total qu’après tout ce galimatias, nous allons calculer force F que le Soleil exerce sur notre planète. De la deuxième loi de Newton, nous savons que F =m à, où à es l’accélération de la planète. Mais si nous voulons écrire l’accélération dans des termes des coordonnées polaires, il faut faire quelques comptes (il venge, vaut, nous allons contourner à elles, que n’est pas le four pour bollors), après lesquels nous obtiendrons qu’à = (r · θ "(t) +2r’ (t) · θ ‘(t)) ou θ + (r" (t)-r · θ’ (t) 2) ur où t il représente, comme presque toujours, le temps.
Dès que, si nous décomposons la force F dans son composant central Fr et tangentiel F θ, nous obtiendrons que F θ =m (r · θ "(t) +2r’ (t) · θ ‘(t)) et Fr =m (r" (t)-r · θ’ (t) 2)
Mais un espace, en réalité, c’est valable pour tout type de force c’est-à-dire que c’est les formules précédentes ce n’est que la Deuxième Loi de Newton exprimées dans des coordonnées polaires. Maintenant nous allons introduire le fait que la force que nous avons est d’une type gravitationnelle. Dans notre cas, nous allons rester seulement avec un aspect de ces forces, et c’est qu’ils sont d’une type centrale c’est-à-dire qu’ils n’ont pas de composant tangentiel (rappelez la Loi de Gravitation Universelle).
Sous ce nouveau prisme, il en ressort que le composant tangentiel de notre force doit être, forcément, nul; ce qui nous permet d’obtenir une Équation Différentielle r · θ "(t) +2r’ (t) · θ ‘(t) =0 Si nous multiplions cette équation par r, est obtenu r2 · θ" (t) +2r · r’ (t) · θ ‘(t) =0 ou ce qui est le même, (r (t) 2 · θ’ (t)) ‘=0, de manière que la fonction entre une parenthèse puisse seulement être une constante c’est-à-dire r (t) 2 · θ’ (t) =h pour une h constante.
Et maintenant vámonos avec la Deuxième Loi de Kepler. Si À (t) est l’aire parcourue par r (t) à partir d’une position fixe de référence, il est facile de vérifier (de nouveau ce sont seulement des comptes par lesquels je ne vais pas vous accabler) A = (r2 θ ‘(t)/2 · t=h/2 · t où le symbole Δ représente l’augmentation de la fonction. Donc, entre deux instants de temps t1 et t2, il s’a qu’A (t2) – à (t2) =h/2 · (t2 - t1) qu’un proverbe de mot est, exactement, ce qui dit la Deuxième Loi de Kepler :

Le rayon vecteur qui unit la planète et le Soleil balaie des aires égales dans des temps égaux.

Dans une autre occasion, tous profiterons ceux-ci des calculs pour vérifier que, comme la force gravitationnelle est inversement proportionnelle au carré de la distance, les orbites célestes peuvent seulement être coniques.
J’espère ne pas vous avoir ennuyés beaucoup. Merci d’arriver jusqu’ici.