Nous tournons aujourd’hui à la série les Chiffres et les Lettres consacrée à ces constantes mathématiques qui se représentent à travers des lettres. Dans cette occasion nous allons nous concentrer sur, probablement, le deuxième nombre transcendant le plus important après le nombre archiconnu π. Je me réfère au nombre et.
La définition de ce nombre n’est pas pour rien géométrique, mais plutôt analytique. On a l’habitude de définir le nombre et comme la limite de la succession an : = (1+1/n) n, ou bien comme la somme des inversés des factoriales des natifs c’est-à-dire e=1/1! +1/2! +1/3! +1/4! +… +1/n! +.
Sa valeur, tronqué, est e≅2,7182818284590452353602874713527… et son importance réside à ce que c’est la base naturelle des logarithmes, en fait la fonction exponentielle de base et est la fonction unique dont la dérivée est elle même. De plus, c’est une partie fondamentale de l’Identité d’Euler ei π + 1=0.
Mais… : pourquoi utiliser la lettre et pour dénoter ce nombre ? Nous allons parler un peu de son histoire. La première fois qui fait une référence à ce nombre est en 1618, dans un appendice d’un travail de John Napier où est observée une planche où se rend le logarithme naturel de quelques nombres. Cependant, la valeur de cette constante n’est pas explicitement calculée. Quelques années après, en 1624, Henry Brigg s a donné une approche numérique de log10e, bien que sans mentionner le nombre et ni, bien sûr, l’annotation que nous avons utilisée ici. spécifiquement à son travail.
En 1647, Grégoire de Saint-Vincent a calculé l’aire sous une hyperbole rectangulaire, et ce fait se considère fondamental dans le développement postérieur du logarithme naturel (dans une base e), bien qu’il semble que le mathématicien ne s’est pas aperçu en ce temps-là de ce fait.
C’a été Christian Huygens, qui vers 1661 a compris la relation existante entre l’hyperbole rectangulaire et le nombre et qui oui l’a fait : En vue de l’hyperbole yx=1, le nombre et c’est le nombre unique à tel que l’aire sous l’hyperbole entre 1 et à es exactement 1 (aujourd’hui, il suffit de calculer l’intégrale simple). Même le prpopio Huygens, grâce à sa fonction logarithmique (l’oeil, qui n’est pas l’actula définition, mais l’autre) a réussi à calculer 17 décimaux exacts de log10e. Cependant, à son travail il apparaît comme le calcul d’une constante et elle n’est pas reconnue comme le logarithme d’un nombre.
En 1668, Nicolás Mercator réussit à obtenir le développement dans des séries de puissances de log (1+x). À ce travail Mercator un logarithme naturel utilise le terme pour la première fois pour les logarithmes dans une base et, bien que notre protagoniste suive sans apparaître d’une forme explicite.
D’une façon surprenante, la première fois dans laquelle apparaît d’une forme explicite le nombre et est à un travail de Jacob Bernoulli l’intérêt composé en 1683, dans laquelle réitérativement Bernoulli a eu besoin calculer la limite qu’il définit au nombre et (et que nous avons vue plus là-haut). Bernoulli n’a pas calculé la limite, perso oui il a démontré qu’il existait et que sa valeur était comprise entre 2 et 3 (sa démonstration, basée sur le binôme de Newton, est celle qu’aujourd’hui il continue d’apprendre dans les premiers cours de calcul).
La première référence écrite à ce nombre est dans une lettre de Gottfried Leibniz à Christiaan Huygens en 1690, bien que dans la missive, Leibniz utilise l’annotation b pour ce nombre.
Finalement, l’actuelle annotation de la lettre et on doit à Euler, bien que, contrairement à ce qu’il est pensé, cette annotation ne provienne pas de l’initiale du nom de famille du mathématicien insigne; ni même du terme exponentiel ou du représentant. La version la plus plausible est le hasard : et c’est la deuxième voyelle après elle à et cette lettre utiliser déjà par Euler à ses travaux.
Indépendamment des motifs, l’actuelle annotation apparaît pour la première fois en 1731 dans une lettre qu’Euler a écrite à Goldbach. En plus de lui donner l’actuel nom, Euler a réussi à démontrer que et c’est la limite de la succession an : = (1+1/n) n ainsi que la série 1/1! +1/2! +1/3! +1/4! +… +1/n! +… (en réalité il a démontré que les deux nombres devaient être le même), même il a donné une approche de et avec 18 décimaux exacts et le développement dans une fraction continue e-1 et (et 1)/2.
Le problème du calcul de décimaux de et il n’a pas semblé, apparemment, si intéressant comme l’analogue pour le nombre π. En tout cas, en 1854 William Shanks a été le premier à calculer une grande quantité de décimaux de et, bien que James Whitbread Lee Glaisher fît remarquer que seulement les 137 premiers décimaux étaient corrects et, après les corrections pertinentes de Shanks, il a obtenu 205 décimaux exacts. Récemment, Shigeru Kondo et Steve Pagliarulo ont obtenu plus de 200.000.000.000 décimaux exacts de et. Bien que nous allions nous conformer bien que nous voyions 1 million de décimaux de et.
Sur et il est connu qu’il est transcendant (prouvé par Charles Hermite), tout de suite irraisonnable (le fait qui paraît a été préalablement démontré par Euler). Cependant, encore il n’est pas connu si ee il est transcendant ou non, bien qu’il semble qu’ou bien ee, ou bien ee2 il est transcendant.
Comme cul – de – lampe, il est connu que et π (connue comme constante de Gelfond) il est transcendant, cependant on ne connaît pas si e il est, s’il veut, irraisonnable. En tout cas, oui que nous avons appris dans ce blog que e