Эта статья будет составлять часть Первой инициативы Издание Карнавала Математики, который проводится в течение всей этой недели, и у которого будут его конечные выходные данные в следующий Понедельник, 15, шурин в этом же самом blog сделает себе обобщение всех вышедших в свет доходов.
В этом входе мы будем говорить о маленьких наборах Реальной Прямой R, но (почти) все то, что мы говорили бы, может распространяться легко на плоскость, на пространство и, даже, на пространство n - пространственный.
Оставляя отдельно в конечные наборы, самое маленькое, что мы можем находиться, это – наборы numerables, а именно, наборы, для которых существует biyección с Натуральными Числами. Говоря из серебра, набор – numerable, если мы можем считать его составные части (первая составная часть, вторая, третья…) и никогда мы не остановимся. Как Пример (с прописными буквами) набора numerable, у нас есть в уроженцы N, но также есть больше, как уроженец целых чисел Z или уроженец рациональных Q. Все они numerables, потом с этой точки зрения, все маленькие наборы.
Однако, вышеупомянутый набор обладает характеристикой, которая отличает от других два. Рациональные, увидев их внутри реальных, выполняют любопытную собственность, которую называются Собственность Arquimediana:

Между любыми двумя рациональными отличными числами, возможно находить рациональный другой отличным.

Даже возможно говорить что-то еще. Между двумя рациональными отличными любыми числами, всегда мы можем находить рациональное число и иррациональный другой.
Здесь у нас есть второй способ измерять величину реального conjutno. Набор плотный, если любой открытый интервал интерсекта в набор, или выражение более простой формы, набор плотный (в реальных), если ввиду любого реального числа (рационального или иррационального) мы способны находить рациональное число, так же близко как давайте хотеть. Давайте говорить, что плотный набор почти полная реальные числа. Следовательно, с этой точки зрения, набор Q не может считаться маленьким, а скорее все противоположность: большого размера.
Другой способ измерять, насколько маленьким может быть набор – затруднительно связан с понятием плотности. Набор A реальных чисел называются плотным нигде или совсем не плотным, если ввиду любого открытого интервала, возможно находить субинтервал, который уже не содержит точки A. Давайте говорить, что он был бы собственностью, диаметрально противоположной плотности. Иногда, к этим наборам они называют их рассыпаемыми, так как идея состоит в том, что они очень рассыпались (стойте излишек) реальной прямой.
Классический пример этого типа наборов - Набор Певца. Соединенный этот получается от следующей формы: мы берем интервал [0,1], это разделяем на 3 равные части и оставляем себе 2 части концов, а именно, [0,1/3] и [2/3,1]; Сейчас мы повторяем ту же процедуру с 2 ты интерстоишь, что у нас есть, после с 4, которые мы получили бы, и я схватил последовательно. В шаге в предел получается Набор Певца. Ну вот, с предыдущей точки зрения, Набор Певца был бы должен считаться малышом, но однако, известно, что этот conjutno имеет точно, тот же cardinalidad, что и реальные числа, а именно, который считает столько точек числами реле, есть. Следовательно, с этой другой перспективы, Набор Певца был бы должен считаться большим.
Еще больше, поскольку cardinalidad рациональных – ω (cardinalidad уроженцев), Q он должен бы быть considerdo более маленький, чем Набор Певца. Хотя под стеклом плотности, рациональные больше, чем Певец.
Вкратце, matemáticamente говоря, крайне относительные понятия большого или маленького звука. Здесь мы увидели пару примеров, как измерения размеров наборов, но еще есть такой еще несколько форм как длина или средство, и Категории Baire. Но все это дало бы для еще нескольких доходов.