Dieser Artikel wird zur Ersten Initiative Ausgabe des Karnevals der Mathematik gehören, die während dieser ganzen Woche gefeiert wird und die seinen letzten Abschluss am nächsten Montag, 15. haben wird, Schwager wird in demselben Blog eine Zusammenstellung aller herausgegebenen Einkommen machen.
In diesem Eingang werden wir von kleinen Gesamtheiten der Wirklichen Geraden Linie R sprechen, aber (fast) alles, was wir sagen, kann sich leicht in der Ebene, im Raum und, sogar, im Raum n erstrecken, – dimensionaler.
Getrennt in den begrenzten Gesamtheiten, dem Kleinsten lassend, dass wir uns befinden können, sind das die Gesamtheiten numerables und nämlich, Gesamtheiten, für die ein Biyección mit den Natürlichen Nummern existiert. In Silber sprechend, ist eine Gesamtheit numerable, wenn wir seine Elemente zählen können, (erstes Element, zweites, drittes…) und nie werden wir halten. Wie Beispiel (mit Großbuchstaben) von Gesamtheit numerable, wir die Naturelle N haben, aber auch gibt es mehr, wie dieser der ganzen Zahlen Z oder dieser der rationalen Q. Sie alle sind numerables, dann von diesem Standpunkt, alle sind kleine Gesamtheiten.
Jedoch besitzt die letzte Gesamtheit ein Charakteristikum, das von den anderen zwei unterscheidet. Die rationalen erfüllen ein neugieriges Eigentum, das Eigentum Arquimediana genannt worden wird, nachdem sie sie innerhalb der wirklichen sehen:

Zwischen irgenwelcher zwei rationale unterschiedliche Nummern, ist es möglich, anderen Rationalen unterschiedlich zu finden.

Sogar kann man etwas noch sagen. Zwischen zwei rationalen unterschiedlichen irgendeinen Nummern können wir immer eine rationale Nummer und anderen Irrationalen treffen.
Hier haben wir eine zweite Form, die Größe eines wirklichen Conjutno zu messen. Eine Gesamtheit ist dicht, wenn irgendeine offene Zwischenzeit Zwischensekte in der Gesamtheit, oder Ausdruck einer einfacheren Form, eine Gesamtheit dicht ist, (in den wirklichen), wenn wir gegeben irgendeine wirkliche (rationale oder irrationale) Nummer fähig sind, eine rationale Nummer zu treffen wollen wir so nah wie. Sagen wir, dass eine dichte Gesamtheit fast volle die wirklichen Nummern. Infolgedessen von diesem Standpunkt, kann die Gesamtheit Q für Kind eher alles Gegenteil nicht gehalten sein: von großer Größe.
Andere Form, das Kleine zu messen, was eine Gesamtheit sein kann, ist mit dem Begriff der Dichte schmal verbunden. Eine Gesamtheit A wird von wirklichen Nummern dicht nirgends oder gar nicht dicht genannt worden, wenn gegeben irgendeine offene Zwischenzeit, es möglich ist, eine Unterzwischenzeit zu treffen, die schon keine Punkte von A enthält. Sagen wir, dass das ein in der Dichte diametral entgegengesetztes Eigentum wäre. Manchmal, nennen sie sie in diesen Gesamtheiten zerstreut, da die Idee ist, dass sie sehr zerstreut sind (die Redundanz kosten Sie), durch die wirkliche gerade Linie.
Ein klassisches Beispiel dieses Typs von Gesamtheiten ist die Gesamtheit des Sängers. Dieser verbundener wird von der folgenden Form erlangt: Wir nehmen die Zwischenzeit [0,1], teilen es in 3 gleichen Berichten und bleiben mit 2 Teilen der Enden und nämlich, [0,1/3] und [2/3,1]; Jetzt wiederholen wir dasselbe Verfahren mit den 2 du zwischenkostest, dass wir, später mit den 4 haben, die wir erlangen würden und so nacheinander. Im Schritt wird die Gesamtheit des Sängers in der Grenze erlangt. Also, vom vorigen Standpunkt, müsste die Gesamtheit des Sängers für Kind, aber jedoch gehalten sein, es ist bekannt, dass dieser Conjutno genau denselben Cardinalidad wie die wirklichen Nummern und nämlich hat, dass er so viele Punkte für Nummern Relais hält, gibt es. Infolgedessen seit dieser anderen Perspektive, müsste die Gesamtheit des Sängers für groß gehalten sein.
Noch mehr müsste er, weil der Cardinalidad der rationalen  (dieser der Naturelle) ist, Q considerdo kleinerer als die Gesamtheit des Sängers sein. Obwohl unter dem Kristall der Dichte, die rationalen größer als Sänger sind.
Kurz, mathematisch sprechend, die übertrieben relativen Begriffe des großen oder kleinen Klangs. Hier haben wir ein Paar Beispiele gesehen von wie Größen der Gesamtheiten messen, aber noch gibt es noch einige Formen als die Länge oder Maßnahme, und die Kategorien von Baire. Aber alles würde für noch einige Einkommen geben.